Second degré
Première Spécialité mathématiques
A-03
Si $f$ est une fonction polynôme du second degré de la forme $f(x)=ax^2+bx+c$, alors $f(\alpha)=\beta$ est le maximum de $f$ si $a\lt0$ et le minimum de $f$ si $a\gt0$.
Déterminez les coordonnées du sommet de la parabole et l'extremum.
  1. $f(x)=2(x-1)^2+2$
  2. $f(x)=-3(x+2)^2-1$
  3. $f(x)=-4(x-3)^2+3$
  4. $f(x)=5(x+4)^2-2$
  1. $$f(x)=2(x-1)^2+2$$ $$\begin{align*} \alpha&=1\\ \beta&=2 \end{align*}$$

    Le sommet de la parabole est $S(1;2)$.

    De plus $a=2\gt0$, donc la parabole est tournée vers le haut.

    Donc $f(1)=2$ est le minimum de $f$.

  2. $$f(x)=-3(x+2)^2-1$$ $$\begin{align*} \alpha&=-2\\ \beta&=-1 \end{align*}$$

    Le sommet de la parabole est $S(-2;-1)$.

    De plus $a=-3\lt0$, donc la parabole est tournée vers le bas.

    Donc $f(-2)=-1$ est le maximum de $f$.

  3. $$f(x)=-4(x-3)^2+3$$ $$\begin{align*} \alpha&=3\\ \beta&=3 \end{align*}$$

    Le sommet de la parabole est $S(3;3)$.

    De plus $a=-4\lt0$, donc la parabole est tournée vers le bas.

    Donc $f(3)=3$ est le maximum de $f$.

  4. $$f(x)=5(x+4)^2-2$$ $$\begin{align*} \alpha&=-4\\ \beta&=-2 \end{align*}$$

    Le sommet de la parabole est $S(-4;-2)$.

    De plus $a=5\gt0$, donc la parabole est tournée vers le haut.

    Donc $f(-4)=-2$ est le minimum de $f$.

Si $f$ est une fonction polynôme du second degré de la forme $f(x)=ax^2+bx+c$, alors sa parabole admet un axe de symétrie d'équation $x=\alpha$ où $\alpha=-\frac{b}{2a}$.
$A$ est un point de la parabole et $S$ son sommet. Tracez la parabole de $A$ à son symétrique par rapport à l'axe de symétrie de la parabole.
  1. $S(1;2)$ et $A(2;3)$
  2. $S(-2;-1)$ et $A(1;0)$
  3. $S(3;3)$ et $A(5;2)$
  4. $S(-4;-2)$ et $A(0;-1)$
  1. $$S(1;2) \quad\text{ et }\quad A(2;3)$$

    L'axe de symétrie de la parabole est $x=1$.

    Le symétrique de $A$ par rapport à l'axe de symétrie est $B(0;3)$.

    1 1 S A B
  2. $$S(-2;-1) \quad\text{ et }\quad A(1;0)$$

    L'axe de symétrie de la parabole est $x=-2$.

    Le symétrique de $A$ par rapport à l'axe de symétrie est $B(-5;0)$.

    1 1 S A B
  3. $$S(3;3) \quad\text{ et }\quad A(5;2)$$

    L'axe de symétrie de la parabole est $x=3$.

    Le symétrique de $A$ par rapport à l'axe de symétrie est $B(1;2)$.

    1 1 S A B
  4. $$S(-4;-2) \quad\text{ et }\quad A(0;-1)$$

    L'axe de symétrie de la parabole est $x=-4$.

    Le symétrique de $A$ par rapport à l'axe de symétrie est $B(-8;-1)$.

    1 1 S A B

Parabole et racine

Soit $f$ une fonction polynôme du second degré de la forme $f(x)=ax^2+bx+c$. Les solutions de l'équation $f(x)=0$ sont les racines du polynôme $ax^2+bx+c$ et sont les abscisses des points d'intersection de la parabole représentative de $f$ avec l'axe des abscisses.
Pour chacune des paraboles et par lecture graphique, déterminez combien de racines possède le polynôme du second degré et en donner les valeurs.
  1. 1 1
  2. 1 1
  3. 1 1
  4. 1 1

  1. La parabole coupe l'axe des abscisses en deux points d'abscisses $-2$ et $3$.

    $f(x)$ possède donc deux racines $-2$ et $3$.

  2. La parabole coupe l'axe des abscisses en deux points d'abscisses $1$ et $2$.

    $f(x)$ possède donc deux racines $1$ et $2$.

  3. La parabole touche l'axe des abscisses en un point d'abscisse $-3$.

    $f(x)$ possède donc une racine double $-3$.

  4. La parabole coupe l'axe des abscisses en deux points.

    Le point visible a pour abscisse $-4$.

    Le sommet de la parabole a pour abscisse $2$

    Or la parabole est symétrique par rapport à la droite d'équation $x=2$.

    Donc la parabole coupe l'axe des abscisses en deux points d'abscisses $-4$ et $8$.

    Donc $f(x)$ possède deux racines $-4$ et $8$.

Signe

Le signe d'une fonction polynôme du second degré définie par $f(x)=ax^2+bx+c$ dépend du signe de $a$ et du signe du discriminant $\Delta$ du polynôme $ax^2+bx+c$.
  1. $f(x)=5(x+4)(x-6)$
  2. $f(x)=3(x+3)(x+5)$
  3. $f(x)=-2(x-1)(x-2)$
  4. $f(x)=-4(x-5)(x+2)$
Déterminez le signe de $f$ en fonction de $x$, vérifiez à l'aide d'un tableau de signe du produit.

  • On a $f_1(x)=5(x+4)(x-6)=5(x-(-4))(x-6)$.

    $a=5\gt 0$ donc $f_1$ est positif en $-\infty$ puis négatif sur $[-4;6]$ et redevient positif ensuite.

    $x$ $-\infty$ $-4$ $6$ $+\infty$
    $5$ $+$ $+$ $+$
    $x+4$ $-$ $0$ $+$ $+$
    $x-6$ $-$ $-$ $0$ $+$
    $f(x)$ $+$ $-$ $+$

  • On a $f_2(x)=3(x+3)(x+5)=3(x-(-3))(x-(-5))$.

    $a=3\gt 0$ donc $f_2$ est positif en $-\infty$ puis négatif sur $[-5;-3]$ et redevient positif ensuite.

    $x$ $-\infty$ $-5$ $-3$ $+\infty$
    $3$ $+$ $+$ $+$
    $x+3$ $-$ $-$ $0$ $+$
    $x+5$ $-$ $0$ $+$ $+$
    $f(x)$ $+$ $-$ $+$

  • On a $f_3(x)=-2(x-1)(x-2)$.

    $a=-2\lt 0$ donc $f_3$ est négatif en $-\infty$ puis positif sur $[1;2]$ et redevient négatif ensuite.

    $x$ $-\infty$ $1$ $2$ $+\infty$
    $-2$ $-$ $-$ $-$
    $x-1$ $-$ $0$ $+$ $+$
    $x-2$ $-$ $-$ $0$ $+$
    $f(x)$ $-$ $+$ $-$

  • On a $f_4(x)=-4(x-5)(x+2)=-4(x-5)(x-(-2))$.

    $a=-4\lt 0$ donc $f_4$ est négatif en $-\infty$ puis positif sur $[-2;5]$ et redevient négatif ensuite.

    $x$ $-\infty$ $-2$ $5$ $+\infty$
    $-4$ $-$ $-$ $-$
    $x-5$ $-$ $-$ $0$ $+$
    $x+2$ $-$ $0$ $+$ $+$
    $f(x)$ $-$ $+$ $-$
Analysez la parabole représentant une fonction polynôme du second degré pour déterminer le signe du discriminant $\Delta$ et du coefficient $a$.

  1. $\Delta\gt 0$ car la parabole coupe l'axe des abscisses en deux points.

    $f$ est au-dessus de l'axe des abscisses avant son premier point d'intersection donc $a\gt 0$.

    2. $\Delta\lt 0$ car la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses.

    $f$ est négative car en-dessous de l'axe des abscisses donc $a\lt 0$.

  2. $\Delta\gt 0$ car la parabole coupe l'axe des abscisses en deux points.

    $f$ est en-dessous de l'axe des abscisses avant son premier point d'intersection donc $a\lt 0$.

  3. $\Delta\lt 0$ car la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses.

    $f$ est au-dessus de l'axe des abscisses donc $a\gt 0$.

Résoudre les inéquations suivantes.
  1. $-2(x-1)(x-2)\geqslant 0$
  2. $-5(x-6)(x+3)\lt 0$
  3. $3(x+3)(x+5)\leqslant 0$
  4. $4(x+7)(x-9)\gt 0$

  1. Notons $f(x)=-2(x-1)(x-2)$.

    $f$ est une fonction polynôme du second degré possédant deux racines $1$ et $2$.

    Son coefficient $a=-2\lt 0$.

    Donc $f$ est négatif sur $]-\infty;1]$, positif sur $[1;2]$ et redevient négatif sur $[2;+\infty[$.

    Donc l'ensemble des solutions de l'inéquation $-2(x-1)(x-2)\geqslant 0$ ets $[1;2]$.

  2. Notons $f(x)=-5(x-6)(x+3)$.

    $f$ est une fonction polynôme du second degré possédant deux racines $6$ et $-3$.

    Son coefficient $a=-5\lt 0$.

    Donc $f$ est négatif sur $]-\infty;-3]$, positif sur $[-3;6]$ et redevient négatif sur $[6;+\infty[$.

    Donc l'ensemble des solutions de l'inéquation $-5(x-6)(x+3)\lt 0$ est $]-\infty;-3[\cup]6;+\infty[$.

  3. Notons $f(x)=3(x+3)(x+5)$.

    $f$ est une fonction polynôme du second degré possédant deux racines $-3$ et $-5$.

    Son coefficient $a=3\gt 0$.

    Donc $f$ est positif sur $]-\infty;-5]$, négatif sur $[-5;-3]$ et redevient positif sur $[-3;+\infty[$.

    Donc l'ensemble des solutions de l'inéquation $3(x+3)(x+5)\leqslant 0$ est $[-5;-3]$.

  4. Notons $f(x)=4(x+7)(x-9)$.

    $f$ est une fonction polynôme du second degré possédant deux racines $-7$ et $9$.

    Son coefficient $a=4\gt 0$.

    Donc $f$ est positif sur $]-\infty;-7]$, négatif sur $[-7;9]$ et redevient positif sur $[9;+\infty[$.

    Donc l'ensemble des solutions de l'inéquation $4(x+7)(x-9)\gt 0$ est $]-\infty;-7[\cup]9;+\infty[$.

Équation du second degré

Résoudre une équation du second degré de la forme
$ax^2+bx+c=0$
avec $a\neq0$ :
  1. Factorisation immédiate ou identité remarquable.
  2. Racine évidente, produit et somme des racines.
  3. Sinon, calcul du discriminant.
Ramener les équations suivantes sous la forme $ax^2+bx+c=0$ puis résoudre l'équation.
  1. $x^2-4x+4=12$
  2. $2x^2-3x=5x$
  3. $x^2+2x+1=3x^2-5x+2$
  4. $3x^2-2x=x+9$

  1. On a $x^2-4x+4=12$.

    On ramène l'équation sous la forme $x^2-4x-8=0$.

    On a $a=1$, $b=-4$ et $c=-8$.

    Le discriminant est $\Delta=16+32=48$.

    Les solutions de l'équation sont $x=\frac{4\pm\sqrt{48}}{2}=\frac{4\pm 4\sqrt{3}}{2}=2\pm 2\sqrt{3}$.

  2. On a $2x^2-3x=5x$.

    On ramène l'équation sous la forme $2x^2-8x=0$.

    On a $a=2$, $b=-8$ et $c=0$.

    Les solutions de l'équation sont $x=0$ et $x=4$.

  3. On a $x^2+2x+1=3x^2-5x+2$.

    On ramène l'équation sous la forme $2x^2-7x+1=0$.

    On a $a=2$, $b=-7$ et $c=1$.

    Le discriminant est $\Delta=49-8=41$.

    Les solutions de l'équation sont $x=\frac{7\pm\sqrt{41}}{4}=\frac{7\pm\sqrt{41}}{4}$.

  4. On a $3x^2-2x=x+9$.

    On ramène l'équation sous la forme $3x^2-3x-9=0$.

    On a $a=3$, $b=-3$ et $c=-9$.

    Le discriminant est $\Delta=9+108=117$.

    Les solutions de l'équation sont $x=\frac{3\pm\sqrt{117}}{6}=\frac{3\pm\sqrt{117}}{6}=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}$.